Normalusis skirstinys

Normaliojo skirstinio tikimybių tankio funkcijų kreivės

Tų pačių normaliojo skirstinio tikimybių pasiskirstymo funkcijų kreivės

Normalusis skirstinys (angl. normal distribution) arba Gauso skirstinys (Gaussian distribution) – tai tolydžiųjų požymių reikšmių skirstinys (pasiskirstymo dėsnis), priklausantis normaliųjų skirstinių šeimai.

Normalųjį skirstinį, kaip tam tikro atsitiktinio dydžio skirstinį, 1809 m. pirmąkart pavartojo Karlas Frydrichas Gausas.

Vienmačiai normalieji skirstiniai

Normalieji skirstiniai pasižymi šiomis savybėmis:

• vidurkio ($\mu$), modos ir medianos reikšmės sutampa,
• skirstinio tikimybių pasiskirstymo kreivė yra dvipusiai simetriška, o simetrijos ašis yra ties vidurkiu,
• skirstinio kreivės padėtis priklauso nuo vidurkio vietos skaičių ašyje,
• skirstinio tikimybių pasiskirstymo kreivės plotis ir amplitudė priklauso nuo standartinio nuokrypio ($\sigma$),
• pagal normalųjį skirstinį besibarstančių atsitiktinių dydžių suma taip pat yra dydis, besibarstantis pagal normalųjį skirstinį.

Normaliojo skirstinio tikimybių tankio funkcija yra

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$

Pagal normalųjį skirstinį dažniausiai barstosi dydžiai, kuriems turi įtakos labai daug nepriklausomų veiksnių, kurių kiekvienas prideda arba atima tam tikrą vertės pokytį. Šie pokyčiai gali barstytis pagal bet kokį skirstinį, nebūtinai normalųjį.

Normaliojo skirstinio nuosavieji parametrai:

• aritmetinis vidurkis μ_x,
• vidutinis kvadratinis nuokrypis (standartinis nuokrypis) σ_x.

Normalusis skirstinys žymimas N(μ_x; σ_x). Standartinis normalusis skirstinys žymimas N(0; 1)

Normalusis dėsnis labai dažnai taikomas praktikoje. Nustatyta, kad jis gerai apibūdina daugelį reiškinių: ūgį, svorį, vidutinę oro temperatūrą, matavimo paklaidas ir t. t. Tai idealizuotas matematinis modelis, taikomas analizuojant duomenis, kurie pasiskirstę apytikriai normaliai.

N skirstinys aprašomas varpo formos kreivė, vadinama normaliąja kreive (arba gausoide). Kreivė išsidėsčiusi virš x ašies. X ašis yra šios funkcijos grafiko asimptotė. Kreivė simetriška per vidurkį einančios statmenos tiesės atžvilgiu. Duomenų reikšmė, atitinkanti šį tašką yra ir skirstinio vidurkis, ir mediana. Tai, kad mediana ir vidurkis sutampa, yra normaliosios kreivės simetriškumo pasekmė.

Funkcija įgyja didžiausią reikšmę vidurkio taške μ_x. Taškai μ_x-σ_x ir μ_x+ σ_x yra grafiko persilenkimo taškų abscisės.

Standartinių nuokrypių σ_x atkertami plotai (tikimybės) po tikimybių tankio funkcijos kreive

Normalioji kreivė turi šias savybes:

• atsitiktinio normaliai pasiskirsčiusio dydžio patekimo į intervalą [μ – σ; μ + σ] tikimybė yra 0,68;
• patekimo į intervalą [μ – 2σ; μ + 2σ] tikimybė yra 0,95;
• patekimo į intervalą [μ – 3σ; μ + 3σ] tikimybė yra 0,995.

Viena iš svarbių išvadų yra ta, kad praktiškai visas plotas (99,5 %) po normaliąja kreive yra ±3σ_x nuo centro (aritmetinio vidurkio) ribose. Taigi, jei kintamojo skirstinys normalus, tai praktiškai visos kintamojo reikšmės yra ne daugiau kaip 3σ atstumu nutolusios nuo centro.